题目内容
已知双曲线x2-
=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.
=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.k的取值范围是(
,+∞)∪(-∞,-)∪(-
,0)∪(0, ).
,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).当k=0时,显然不成立.
∴当k≠0时,由l⊥AB,可设直线AB的方程为y=-
x+b,代入3x2-y2=3中,得(3k2-1)x2+2kbx-(b2+3)k2=0.
显然3k2-1≠0,∴Δ=(2kb)2-4(3k2-1)［-(b2+3)k2］>0,即k2b2+3k2-1>0. ①
由根与系数的关系,得中点M(x0,y0)的坐标
∵M(x0,y0)在直线l上,
∴
=
+4,即k2b=3k2-1. ②
把②代入①得k2b2+k2b>0,解得b>0,或b<-1.
∴
>0或<-1,
即|k|>或|k|<,且k≠0.
∴k的取值范围是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).
∴当k≠0时,由l⊥AB,可设直线AB的方程为y=-
x+b,代入3x2-y2=3中,得(3k2-1)x2+2kbx-(b2+3)k2=0.显然3k2-1≠0,∴Δ=(2kb)2-4(3k2-1)［-(b2+3)k2］>0,即k2b2+3k2-1>0. ①
由根与系数的关系,得中点M(x0,y0)的坐标
∵M(x0,y0)在直线l上,
∴
=+4,即k2b=3k2-1. ②把②代入①得k2b2+k2b>0,解得b>0,或b<-1.
∴
>0或<-1,即|k|>
或|k|<,且k≠0.∴k的取值范围是(
,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).
练习册系列答案
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是双曲线
渐近线上的一点，
是左、右两个焦点，若
，则双曲线方程为 
=1有共同的焦点,且与此椭圆一个交点的纵坐标为4,求这个双曲线的方程.
,
］,求实数m的取值范围;
+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
-
=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是__________________.
-
=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于___________.