题目内容
【题目】已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥ 
时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，
解得x＜3，∴ ≤x＜3；
当2x﹣3＜0，即x＜ 时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，
解得x＞1，∴1＜x＜ ；
综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；
∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，
∴ 
，
∴m﹣n=4﹣3=1；
（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）
≥ 
（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）
=3（ab+bc+ca）=3；
∴a+b+c的最小值是 
．
【解析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；
（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用解一元二次不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求一元二次不等式
解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．
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