题目内容

1.已知函数g(x)=x+1,x∈[0,2],f(x)=x2+mx+2.
(1)若方程f(x)=-$\frac{1}{2}$m有两个实根x1,x2,求x12+x22的取值范围;
(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求m的取值范围.

分析 (1)方程f(x)=-$\frac{1}{2}$m有两个实根x1,x2,即方程x2+$\frac{3}{2}$mx+2=0有两个实根x1,x2,故△=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8≥0$,x1+x2=$-\frac{3}{2}$m,x1•x2=2,进而可得x12+x22的取值范围;
(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,即方程x2+mx+2-(x+1)=x2+(m-1)x+1=0有两个不等的实根,故△=(m-1)2-4>0,解得答案.

解答 解:(1)∵方程f(x)=-$\frac{1}{2}$m有两个实根x1,x2
即方程x2+$\frac{3}{2}$mx+2=0有两个实根x1,x2
故△=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8≥0$,
x1+x2=$-\frac{3}{2}$m,x1•x2=2,
故x12+x22=(x1+x22-2x1•x2=$\frac{9}{4}{m}^{2}-4$=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8+4$≥0;
(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,
即方程x2+mx+2-(x+1)=x2+(m-1)x+1=0有两个不等的实根,
故△=(m-1)2-4>0,解得:m<-1,或m>3.

点评 本题考查的知识点是函数零点与方程的根,转化思想,难度中档.

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