题目内容
【题目】如图,多面体中,四边形
为平行四边形,其中
,
,
,等边
所在平面与平面
垂直,
平面
,且
.
(Ⅰ)点在棱
上,且
,
为
的重心,求证:
平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)如图,在棱上取点
,使得
;连接
并延长,交
于点
.
则在中,又
,
所以,
又四边形为平行四边形,
所以,
所以. -----------------2分
在中,
为重心,
所以,
又,
所以.
又因为,
,
所以平面平面
.
又平面
,
所以平面
. -----------------------------5分
(Ⅱ)在中,
,
,
,
由余弦定理可得
.
所以.
取的中点
,连接
、
.
在中,
,
所以,且
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
. -----------------------------7分
又中,
,
,
所以,且
.
如图,以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
.
则,
,
,
.
设平面的法向量为
,
则由,可得
整理得.
令,则
,
.
所以为平面
的一个法向量. ----------------------------9分
设平面的法向量为
,
则由,可得
.
整理得.
令,则
,
.
所以为平面
的一个法向量. -----------------------------10分
所以.
-----------------------------11分
设平面与平面
所成锐二面角为
,则
. -------12分
【命题意图】本题考查空间中线面平行的证明、空间二面角的求解以及向量的基本运算等,考查基本的空间想象能力和逻辑推理能力、运算能力等.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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