题目内容
【题目】已知椭圆的方程为
,离心率
,且短轴长为4.
求椭圆
的方程;
已知
,
,若直线l与圆
相切,且交椭圆E于C、D两点,记
的面积为
,记
的面积为
,求
的最大值.
【答案】(1);(2)12
【解析】
根据题意列出有关a、b、c的方程组,求出a、b、c的值,可得出椭圆E的方程;
设直线l的方程为
,先利用原点到直线l的距离为2,得出m与k满足的等式,并将直线l的方程与椭圆E的方程联立,列出韦达定理,计算出弦CD的长度的表达式,然后分别计算点A、B到直线l的距离
、
,并利用三角形的面积公式求出
的表达式,通过化简,利用基本不等式可求出
的最大值。
解:设椭圆
的焦距为
,椭圆
的短轴长为
,则
,
由题意可得,解得
,
因此,椭圆的方程为
;
由题意知,直线l的斜率存在且斜率不为零,不妨设直线l的方程为
,设点
、
,
由于直线l与圆,则有
,所以,
.
点A到直线l的距离为,点B到直线l的距离为
,
将直线l的方程与椭圆E的方程联立,消去y并整理得
.
由韦达定理可得,
.
由弦长公式可得
.
所以,,
.
当且仅当时,即当
时,等号成立.
因此,的最大值为12.
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