题目内容
18.已知A(-2,0),B(0,2),P是圆C:x2+y2+kx-2y=0上的动点,点M.N在圆上,且与直线x-y-1=0对称(1)求圆心C的坐标及半径;
(2)求△PAB面积的最大值.
分析 (1)由点M.N在圆上且关于直线x-y-1=0对称可知x-y-1=0是圆的直径所在的直线方程,即过已知圆的圆心,从而可求k,进而可求圆心及半径
(2)先求出圆心C到直线AB的距离,根据圆的性质可知,P到直线x-y+2=0的最大距离为d+r,进而可求△PAB面积的最大值为S=$\frac{1}{2}$|AB|•(d+r)
解答 解:(1)∵点M.N在圆上且关于直线x-y-1=0对称,
∴x-y-1=0是圆的直径所在的直线方程,即过已知圆的圆心(-$\frac{k}{2},1$),
∴$-\frac{1}{2}k-1-1=0$,
∴k=-4,
∴⊙C:x2+y2-4x-2y=0,
即(x-2)2+(y-1)2=5,
圆心C(2,1),半径r=$\sqrt{5}$;
(2)∵|AB|=$2\sqrt{2}$,直线AB的方程为:x-y+2=0,
∴C(2,1)到直线AB的距离d=$\frac{|2-1+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
根据圆的性质可知,P到直线x-y+2=0的最大距离为d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{5}$,
∴△PAB面积的最大值为S=$\frac{1}{2}$|AB|•(d+r)=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×(\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{5})$=3+$\sqrt{10}$.
点评 本题考查直线与圆的方程的应用,点到直线的距离,直线方程的求法,考查计算能力
练习册系列答案
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A. | k<5? | B. | k≤5? | C. | k>7? | D. | k≤6? |