已知函数y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$.求函数的单调区间及值域．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$（0＜a＜1），求函数的单调区间及值域．

分析设t=x²-4x+1，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答解：设t=x²-4x+1，则t=（x-2）²-3，
对称轴为x=2，
∵0＜a＜1，
∴y=a^t为减函数，
当x≥2时，函数t=x²-4x+1为增函数，
∵y=a^t为减函数，∴y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$为减函数，即单调递减区间为[2，+∞），
当x≤2时，函数t=x²-4x+1为减函数，
∵y=a^t为减函数，∴y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$为增函数，即单调递增区间为（-∞，2]．
∵t=（x-2）²-3≥-3，
∴y=a^t≤a^-3，
∵y=a^t＞0，
∴0＜y≤a^-3，
即函数的值域为（0，a^-3]．

点评本题主要考查函数单调性的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．

练习册系列答案

	A．	p是假命题，￢p：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）≥0		B．	p是假命题，￢p：?x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）≥0
	C．	p是真命题，￢p：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）≥0		D．	p是真命题，￢p：?x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）≥0

9．

如图，△BC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE，∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．求证：A、P、B、C四点共圆．

6．某学校高二学生进行研究性学习，某班共有m（m∈N^*）名学生编号为1、2、3…m，有n（n∈N^*）台设备编号分别为1、2、3…n，定义记号a_ij；如果第i名学生操作了第j台设备，此时规定a_ij=1否则a_ij=0，则等式a₄₁+a₄₂+a₄₃+…a_4n=3的实际意义为（　　）

	A．	第4名学生操作了n台设备		B．	第4名学生操作了3台设备
	C．	第3名学生操作了n台设备		D．	第3名学生操作了4台设备

13．下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成？
（1）y=arcsin$\sqrt{sinx}$；
（2）y=e^sin²x；
（3）y=log₂⁴cosx；
（4）y=arctan[tan³（a²+x²）]．

3．讨论函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$（a＞0且a≠1）的奇偶性和单调性．

10．已知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[a^2x-3（ab）^x+2b^2x+1]，其中1+lgb=1ga，求使f（x）＜0的x的取值范围．

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4$\sqrt{2}$，求椭圆C的标准方程．

8．设斜率为k（k≠0）的直线与离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，P是线段AB的中点，直线OP的斜率为k′．
（Ⅰ）证明积kk′是定值；
（Ⅱ）若直线0P的倾斜角为$\frac{3π}{4}$时△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的方程．

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