Question

【题目】如图，四边形是边长为的正方形，为等腰三角形，，平面平面，动点在棱上，无论点运动到何处时，总有.

（1）试判断平面与平面是否垂直，并证明你的结论；

（2）若点为中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）存在，证明见解析；（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性质先证明平面，从而平面，由此能证明平面平面；（2）到平面的距离等于到平面距离的一半，而到平面的距离等于到平面距离，可得，利用，即可得结果.

（1）平面与平面垂直，

证明如下：

四边形是边长为2的正方形，所以，

因为平面平面，

平面，

动点在棱上，无论点运动到何处时，总有，

又平面，

平面平面平面.

（2）点为中点，

到平面的距离等于到平面距离的一半，

而到平面的距离等于到平面距离，

由平面，可得 ，

由平面，可得 ，

所以平面，

为等腰直角三角形，

到平面的距离等于，

，

三棱锥的体积

.