题目内容
【题目】已知为实数,函数
,且函数
是偶函数,函数
在区间
上的减函数,且在区间
上是增函数.
(1)求函数的解析式;
(2)求实数的值;
(3)设,问是否存在实数
,使得
在区间
上有最小值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
或
【解析】
(1)根据题意,函数是偶函数,则
,得
可求出
的值,即可得出
的解析式。
(2)根据题意, ,令
,得
,再根据函数的单调性得出实数
的值。
(3)根据题意分类讨论,求出函数的最小值,利用在区间
上有最小值为
得出结论。
(1)函数
是偶函数,
,
,
,
;
(2),
令,
,
在区间上,
是减函数,且
,
由是减函数,可知
为增函数;
在区间上,
是减函数,且
,
由是增函数,可知
为减函数,
由
在
上是减函数,
上是增函数,
可得二次函数开口向上,,且
,
;
(3),
.
,
,
;
,
,
或
,舍去;
,
,
,
综上所述,或
.
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