题目内容
【题目】若函数y=f(x)对定义域的每一个值x1,在其定义域均存在唯一的x2,满足f(x1)f(x2)=1,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断,y=2x是否为“依赖函数”;
(2)若函数y=a+sinx(a>1), 为依赖函数,求a的值,并给出证明.
【答案】(1)不是,y=2x是(2) ,证明见解析
【解析】
(1)根据“依赖函数”的定义进行判断即可,
(2)只需要函数y=a+sinx的最大值和最小值满足f(x1)f(x2)=1即可,建立方程关系进行求解即可.
(1)解:(1)函数,由f(x1)f(x2)=1,得,
对应的x1、x2不唯一,所以不是“依赖函数”;
对于函数y=2x,由f(x1)f(x2)=1,得,
所以x2=﹣x1,可得定义域内的每一个值x1,都存在唯一的值x2满足条件,故函数y=2x是“依赖函数”.
(2)当时,函数y=a+sinx(a>1)为增函数,且函数关于(0,a)对称,
若函数y=a+sinx(a>1),为依赖函数,
则只需要函数的最大值和最小值满足f(x1)f(x2)=1即可,
则函数的最大值为a+1,最小值为a﹣1,
则由(a+1)(a﹣1)=1得a2﹣1=1,
得a2=2,因为a>1,所以得a=.
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