题目内容

【题目】已知函数f(x)=log2(|x﹣1|+|x+2|﹣a).
(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由题设知:|x﹣1|+|x+2|>7,

令x﹣1=0,x+2=0,解得x=1,x=﹣2,这就是两个分界点.把全体实数分成3个区间.

不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

,或 ,或

解得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣4)∪(3,+∞);

(Ⅱ)不等式f(x)≥3即:|x﹣1|+|x+2|≥a+8,

∵x∈R时,恒有|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3,

∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R,∴a+8≤3,

∴a的取值范围是:(﹣∞,﹣5].


【解析】(1)根据零点分界讨论,脱掉绝对值,解出函数的定义域,(2)不等式f(x)≥3即:|x﹣1|+|x+2|≥a+8,根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|,解出a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法的相关知识点,需要掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零才能正确解答此题.

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