Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点 D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．
又因为DE面PBC，PC面PBC，
所以DE∥平面PBC．
（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥面ABC，
因为BC平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥面PAB．
（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．
取AB中点F，连EF，连DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因为点E是AC中点，点F为AB的中点，
所以EF∥BC．
又因为EF平面PBC，BC平面PBC，
所以EF∥平面PBC．
又因为DE∩EF=E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．

【解析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面平行的性质的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行才能正确解答此题．