Question

2．已知函数f（x）=x²+ax+1
（1）若函数在[-1，3]上的最大值为2，求a；
（2）若x∈（0，2）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，（1）通过讨论对称轴的位置，求出函数的单调区间，得到关于a的方程，解出即可；（2）通过讨论对称轴的范围得到不等式，解出即可．

解答 解：函数f（x）=x²+ax+1，对称轴x=-$\frac{a}{2}$，
（1）①-$\frac{a}{2}$≤-1即a≥2时：
f（x）在[-1，3]递增，f（x）_max=f（3）=3a+10=2，
解得：a=-$\frac{8}{3}$，舍，
②-$\frac{a}{2}$≥3即a≤-6时：
f（x）在[-1，3]递减，f（x）_max=f（-1）=2-a=2，
解得：a=0，舍，
③-1＜-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a＜2时：
f（x）在[-1，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，3]递增，
f（x）_max=f（3）=3a+10=2，a=-$\frac{8}{3}$舍，
④1＜-$\frac{a}{2}$≤3，即-6≤a＜-2时：
f（x）在[-1，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，3]递增，
f（x）_max=f（-1）=2-a=2，a=0，舍，
故不存在实数a，使得函数在[-1，3]上的最大值为2；
（2）-$\frac{a}{2}$＜0即a＞0时：
f（x）在（0，2）递增，f（0）=1＞0，f（x）＞0在（0，2）恒成立，
-$\frac{a}{2}$＞2即a＜-4时：
f（x）在（0，2）递减，只需f（2）=2a+5＞0即可，解得：a＞-$\frac{5}{2}$，不合题意，
综上：a＞0．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题、函数恒成立问题，是一道中档题．