Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= ．

（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，交BD于O，

由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB，

又AB⊥BP，BP∩PC=P，

可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC，

由BC= ，AB=2，可得tan∠BAC= = ，

即∠BAC=30°，又∠ABD=60°，

则∠AOB=90°，

即AC⊥BD，又PC⊥BD，

则BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD

（2）解：由O为BD的中点，过O作OF∥PC，交AP于F，

可得F为AP的中点，且OF⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，

则A（ ，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C（﹣ ，0，0），P（﹣ ，0， ），

则 =（0，2，0）， =（ ，1，﹣ ），

设平面PBD的一个法向量为 =（x，y，z），

由 ，取z=1，x=2，

可得为 =（2，0，1），

取PB的中点E，连接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP，

又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP，

由E（﹣ ， ， ），即有 =（ ， ， ）为平面ABP的一个法向量．

即有cos＜ ， ＞= = = ，

可得sin＜ ， ＞= = ．

即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值为 ．

【解析】（1）连接AC，交BD于O，运用线面垂直的判定和性质，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；（2）过O作OF∥PC，交AP于F，以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量 ， 的坐标，设出平面PBD的一个法向量为 =（x，y，z），由向量垂直的条件：数量积为0，可得 =（2，0，1），再取PB的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点即可以解答此题．