题目内容
【题目】已知点 
在椭圆 
上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1 ， k2 ． 问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】
（1）解：由题意得， 
，
解得 
；
∴椭圆的方程为 
；
（2）解：由题意知，T（﹣2，0），F（1，0），设直线MN的方程为x=ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）；
将方程x=ty+1带入椭圆方程 并化简得：
（3t2+4）y2+6ty﹣9=0；
∴ 
；
∴ 
= 
= 
= 
= 
；
∴k1k2为定值，定值为 ．
【解析】（1）根据条件便可以得到 ，解出a，b便可得出椭圆C的方程为 ；（2）可设直线MN的方程为x=ty+1，带入椭圆方程并整理便可得到（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，从而由韦达定理可得到 ，而 
，这样即可求得 
，即得出k1k2为定值，并得出该定值．
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