题目内容
【题目】设椭圆E： 
过 
， 
两点，O为坐标原点
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且 
？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）解：因为椭圆E： 
（a，b＞0）过M（2， 
），N（ 
，1）两点，
所以 
，解得 
，
所以 
，
所以椭圆E的方程为 
（2）解：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 
，设该圆的切线方程为y=kx+m．
解方程组 
得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，
即8k2﹣m2+4＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 
．
要使 ，需使x1x2+y1y2=0，即 
，
所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以 
．
又8k2﹣m2+4＞0，所以 
，
所以 
，即 
或 
，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 
，
所以 
，所以 
，
所以所求的圆为 
，此时圆的切线y=kx+m都满足 
或 
，
而当切线的斜率不存在时，切线为 
与椭圆 的两个交点为 
或 
，满足 ，
综上，存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
【解析】（1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使 ，需使x1x2+y1y2=0，结合韦达定理，即可求解．
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