Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，，0＜φ＜π）的一系列对应值如表：

x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	0	1	0	-1	0

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的对边，若f(A)=

1

2

，c=2，a=

3

b，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由表格中的数据可求出f（x）的周期T，然后利用周期公式求出ω的值，把求出的ω的值代入f（x）中，利用表格中的第二列的一对x与y的值，由0＜φ＜π，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，从而确定出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，由第一问求出的f（x）的解析式和A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出cosA的值，然后利用余弦定理得到一个关系式，把a=

3

b，c=2及cosA的值代入得到关于b的一元二次方程，求出方程的解得到b的值，然后利用三角形的面积公式，由b，c及sinA的值，即可求出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数f（x）的周期为T=

11π

12

-（-

π

12

）=π，
所以ω=

2π

π

=2，
又sin（2×

π

6

+φ）=1，且φ=2kπ+

π

2

-

π

3

=2kπ+

π

6

（k∈Z），
由0＜φ＜π，所以φ=

π

6

，
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）∵f（A）=

1

2

，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又∵A为△ABC的内角，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
由a²=b²+c²-2bccosA，得（

3

b）²=b²+2²-2×2×b×

1

2

，
即b²+b-2=0，解得b=1或b=-2（舍去），
则S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．

点评：此题考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及法则是解本题的关键，同时在求角度时注意角度的范围，牢记特殊角的三角函数值．