题目内容

8.已知实数a、b、c满足$\left\{\begin{array}{l}{a>b>c}\\{a+b+c=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=1}\end{array}\right.$,试求a+b的取值范围.

分析 由题意可得a,b是方程x2-(1-c)x+c2-c=0的两个不等实根,由判别式大于0可得-$\frac{1}{3}$<c<1.再由(c-a)(c-b)>0,解得c<0,或c>$\frac{2}{3}$,取交集得到-$\frac{1}{3}$<c<0,从而得到1<a+b<$\frac{4}{3}$.

解答 解:因为a+b=1-c,ab=$\frac{(a+b)^{2}-({a}^{2}+{b}^{2})}{2}$=c2-c,所以a,b是方程x2-(1-c)x+c2-c=0的两个不等实根,
则△=(1-c)2-4(c2-c)>0,解得-$\frac{1}{3}$<c<1.
而(c-a)(c-b)=c2-(a+b)c+ab>0,即c2-(1-c)c+c2-c>0,解得c<0,或c>$\frac{2}{3}$(不和题意,舍去),
所以-$\frac{1}{3}$<c<0,即1<a+b<$\frac{4}{3}$.

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化的数学思想,式子的变形是解题的关键,属于中档题.

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