Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作斜率为-2的直线交双曲线的渐近线于P，Q两点，M为线段PQ的中点，若直线MF₁平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 通过题意，分析可得PM=MQ=QF₂，利用相似比的性质可得Q点纵坐标的3倍等于P点纵坐标，再通过离心率的公式计算即可．

解答 解：如图，设F₂（c，0），根据题意，得直线PF₂的方程为：y=-2（x-c），
双曲线的渐近线为$y=±\frac{b}{a}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2（x-c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{2ac}{2a+b}$，$\frac{2bc}{2a+b}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2（x-c）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{2ac}{2a-b}$，$-\frac{2bc}{2a-b}$），
∵M为线段PQ的中点，若直线MF₁平行于其中一条渐近线，
∴PM=MQ=QF₂，所以3×$\frac{2bc}{2a+b}$=$-\frac{2bc}{2a-b}$，
化简得：b=4a，所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{17{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{17}$，
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题考查双曲线，相似比的性质，找出关系PM=MQ=QF₂是解决本题的关键，属于中档题．