题目内容
1.已知关于x的不等式a2x-2a-x>0在区间[0,$\frac{3}{4}$]内有实数解,求实数a的取值范围.分析 需要分类讨论,求出不等式的解集使与区间[0,$\frac{3}{4}$]有交集即可.
解答 解:a2x-2a-x>0,
当a=0时,解得x<0,不合题意,
当a≠0时,
原不等式化为(a2-1)x>2a,
当a=1时,不等式解为空集,
当a=-1时,不等式的解集为R,
当-1<a<1时a≠0时,不等式的解为x<$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$,
∵x的不等式a2x-2a-x>0在区间[0,$\frac{3}{4}$]内有实数解,
∴$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$>0,
解得a<0,
∴此时a的取值范围为(-1,0),
当a<-1或a>1时,不等式的解为x>$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$,
∵x的不等式a2x-2a-x>0在区间[0,$\frac{3}{4}$]内有实数解,
∴$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$<$\frac{3}{4}$,
解得a>3,或a<-$\frac{1}{3}$,
∴此时a的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞),
综上所述a的取值范围为:(-∞,0)∪{3,+∞).
点评 本题考查了不等式的解集的问题,关键是分类讨论的思想,属于中档题.
练习册系列答案
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