Question

（2011•顺义区二模）设函数f(x)=

ax

x2+b

(a＞0)．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-2，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若P（x₀，y₀）为函数f(x)=

ax

x2+b

图象上任意一点，直线l与f（x）的图象切于点P，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（-1）=0，f（-1）=-2，求出a，b的值．
（2）对函数f（x）进行求导，转化成f′（x）在（-1，1）上恒有f′（x）≥0，求出参数b的取值范围．
（3）利用导数的几何意义得直线l在点P处的切线斜率的表达式，再结合换元法，令t=

1

x02+1

，转化为二次函数的最值问题，从而求出直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

由题意得

f′(-1)=0 f(-1)=-2

，即

a(b-1) (1+b)2 =0 -a 1+b =-2

，所以

a=4 b=1

（2）f′(x)=-

a(x2-b)

(x2+b)2

(a＞0)
当b≤0时，f′（x）≤0，函数f（x）在区间（-1，1）内不可能单调递增 （4分）
当b＞0时，f′(x)=-

a(x+ b )(x- b )

(x2+b)2

则当x∈(-

b

，

b

)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，故当且仅当

- b ≤1 b ≥1

时，
函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，即b≥1时，函数f（x）在（-1，1）内单调递增．
故所求b的取值范围是[1，+∞）
（3）直线l在点P处的切线斜率k=f′(x0)=

4-4x02

(x02+1)2

=

-4

x02+1

+

8

(x02+1)2

令t=

1

x02+1

，则0＜t≤1所以k=8t2-4t=8(t-

1

4

)2-

1

2

故当t=

1

4

时，kmin=-

1

2

；t=1时，k_max=4
所以直线l的斜率的取值范围是[-

1

2

，4]．

点评：本小题主要考查函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．