题目内容
【题目】已知函数,在原点处切线的斜率为,数列满足为常数且,.
(1)求的解析式;
(2)计算,并由此猜想出数列的通项公式;
(3)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】(1);(2) ;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出的导函数,由函数在原点处切线的斜率为可得,可求得的值,从而可得的解析式;(2)由函数解析式,可得递推关系,根据递推关系可依次求出的值,观察前四项共同规律可猜测出数列的通项公式;(3)先验证 时猜想成立,再假设 时猜想成立,只需证明 时,猜想也成立即可.
试题解析:(1)由已知得,,.
(2),则,
,,
由此猜想数列的通项公式应为.
(3)①当时,猜想显然成立,
②假设时,猜想成立,即,
则当时,,
即当时,猜想成立.由①②知,对一切正整数都成立.