题目内容
17.若${({x^2}-\frac{2}{x})^n}$的二项展开式中,所有项的二项式系数和为64,则该展开式中的常数项为240(用数字作答).分析 由二项式系数的性质结合已知求得n,写出二项展开式的通项,再由x的指数等于0求得r值,则展开式中的常数项可求.
解答 解:∵${({x^2}-\frac{2}{x})^n}$的二项展开式中,所有项的二项式系数和为64,∴2n=64,即n=6.
则${({x^2}-\frac{2}{x})^n}$=$({x}^{2}-\frac{2}{x})^{6}$,
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{(x}^{2})^{6-r}•(-\frac{2}{x})^{r}$=$(-2)^{r}•{C}_{6}^{r}•{x}^{12-3r}$.
令12-3r=0,得r=4.
∴展开式中的常数项为$(-2)^{4}•{C}_{6}^{4}=240$.
故答案为:240.
点评 本题考查二项式定理的应用,考查了二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与运用,是基础题.
练习册系列答案
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