Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为A₁B₁，BC之中点．
（1）试求，使．
（2）在（1）条件下，求二面角N-AC₁-M的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C₁点为坐标原点，C₁A₁所在直线为x轴，C₁C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设A₁B₁=b，AA₁=a，分别求出与的坐标，根据求出a与b的关系，从而求出，
（2）在（1）条件下，不妨设b=2，则，取AC₁中点为P，根据二面角的平面角的定义可知∠NPM为二面角N-AC₁-M的平面角，分别求出与的坐标，计算它们的数量积即可求出此角．
解答：解：（1）以C₁点为坐标原点，C₁A₁所在直线为x轴，C₁C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁B₁=b，AA₁=a（a，b∈（0，+∞）．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，则A₁，B，B₁，C的坐标分别为：
（b，0，0），，，a），，，0），（0，0，a）．．
∴=，，a），=，，．

（2）在（1）条件下，不妨设b=2，则，
又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（，，0），（，，a）．
∴，．∴
同理|AM|=|C₁M|．
∴△AC₁N与△AC₁M均为以AC₁为底边的等腰三角形，
取AC₁中点为P，则NP⊥AC₁，MP⊥AC₁⇒∠NPM为二面角N-AC₁-M的平面角，
而点P坐标为（1，0，），
∴=，，．同理=，，．
∴=．
∴∠NPM=90°⇒二面角N-AC₁-M的大小等于90°．
点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．