Question

9．已知点M为椭圆C：3x²+4y²=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆C的方程可化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，则a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．即可得出离心率与焦点坐标；
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．△＞0．由于直线MA与直线MB斜率之积为$\frac{1}{4}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{1}{4}$，把根与系数的关系代入可得：m²-2km-8k²=0，解得m=4k或m=-2k．分别讨论解出即可．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，则a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
故离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，焦点坐标为（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵直线MA与直线MB斜率之积为$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{1}{4}$，
∴4（kx₁+m）（kx₂+m）=（x₁-2）（x₂-2）．
化简得（4k²-1）x₁x₂+（4km+2）（x₁+x₂）+4m²-4=0，
∴$（4{k}^{2}-1）•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$（4km+2）×\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+4m²-4=0，
化简得m²-2km-8k²=0，解得m=4k或m=-2k．
当m=4k时，直线AB方程为y=k（x+4），过定点（-4，0）．
m=4k代入判别式大于零中，解得$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$（k≠0）．
当m=-2k时，直线AB的方程为y=k（x-2），过定点（2，0），不符合题意．
故直线AB过定点（-4，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．