题目内容

两个具有线性相关关系的变量的一组数据为:
数据
1
2
3

n
变量x
x1
x2
x3

xn
变量y
y1
y2
y3

yn
   将以上数据,以x为自变量,y为因变量,得回归方程为=bx+a;将y为自变量,x为因变量,得回归方程为=b′y+a′.
定义两个变量的相关关系数r的计算公式为r=,它可表示两个变量线性关系的强弱.
试问r能否用上述两方程中的b,a与b′,a′表示?如能,怎样表示?
   在方程=bx+a中b=,在方程=b′y+a′中b′=,
于是bb′=. ==r2.
故r=,
即r能用b,b′表示,且r=
   本题容易产生两个错答案
错解一:因为两组变量一旦确定后,两组变量间的相关关系也随之确定了,故r不是随b,a,b′,a′的变化而变化的,于是r不能用b,a及b′,a′表示.
错解二:因为b为回归方程的斜率,a为截距,斜率与截距的取值范围均为R,而相关系数r的取值范围为[-1,1],它们的取值范围不一样,因而r不能用b,a及b′,a′表示.
产生这种错解的原因是:当变量确定后,r是随之而确定了,但b,a及b′, a′也?随之而定了,上述错解一中视以上四个系数在变化,因而误认为r与它们无关而发生了错误.对于错解二,虽然对b与a及r的范围的说法均是正确的,但未曾注意到两个方程之间的相关关系,即系数b,a与b′,a′并不是两组完全独立的变量,因而也造成了解答的错误.
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