题目内容
已知椭圆:的离心率为,右焦点为,右顶点在圆:上.
(Ⅰ)求椭圆和圆的方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于另一点,与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线,使点恰好为线段的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ),;(Ⅱ)不存在
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由圆方程可知圆心为,即,又因为离心率为,可得,根据椭圆中关系式,可求。椭圆方程即可求出。因为,则右顶点为,将其代入圆的方程可求半径。(Ⅱ)设出直线方程,然后和椭圆方程联立,消掉y(或x)得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。因为是其中一个交点,所以方程的一个根为2。用中点坐标公式求点的坐标,再将其代入圆方程。解出的值。若则说明存在满足条件的直线可求出其方程,若,则说明不存在满足条件的直线。法二:假设存在,由已知可得,因为点为线段的中点,所以,因为点在椭圆上可推导得,与矛盾,故假设不成立。
试题解析:(Ⅰ)由题意可得, 1分
又由题意可得,
所以, 2分
所以, 3分
所以椭圆的方程为. 4分
所以椭圆的右顶点, 5分
代入圆的方程,可得,
所以圆的方程为. 6分
(Ⅱ)法1:
假设存在直线:满足条件, 7分
由得 8分
设,则, 9分
可得中点, 11分
由点在圆上可得
化简整理得 13分
又因为,
所以不存在满足条件的直线. 14分
(Ⅱ)法2:
假设存在直线满足题意.
由(Ⅰ)可得是圆的直径, 7分
所以. 8分
由点是中点,可得. 9分
设点,则由题意可得. 10分
又因为直线的斜率不为0,所以, 11分
所以, 13分
这与矛盾,所以不存在满足条件的直线. 14分
考点:椭圆及圆的基础知识、直线与椭圆的位置关系,考查分析问题、解决问题以及化归与转化的能力,考查综合素质。