题目内容

已知椭圆的离心率为,右焦点为,右顶点在圆上.

(Ⅰ)求椭圆和圆的方程;

(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于另一点,与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线,使点恰好为线段的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)不存在

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由圆方程可知圆心为,即,又因为离心率为,可得,根据椭圆中关系式,可求。椭圆方程即可求出。因为,则右顶点为,将其代入圆的方程可求半径。(Ⅱ)设出直线方程,然后和椭圆方程联立,消掉y(或x)得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。因为是其中一个交点,所以方程的一个根为2。用中点坐标公式求点的坐标,再将其代入圆方程。解出的值。若则说明存在满足条件的直线可求出其方程,若,则说明不存在满足条件的直线。法二:假设存在,由已知可得,因为点为线段的中点,所以,因为点在椭圆上可推导得,与矛盾,故假设不成立。

试题解析:(Ⅰ)由题意可得,                            1分

又由题意可得

所以,                                           2分

所以,                                   3分

所以椭圆的方程为.                         4分

所以椭圆的右顶点,                             5分

代入圆的方程,可得,

所以圆的方程为.                        6分

(Ⅱ)法1:

假设存在直线:满足条件,               7分

          8分

,则,                          9分

可得中点,                            11分

由点在圆上可得

化简整理得                                       13分

又因为

所以不存在满足条件的直线.                             14分

(Ⅱ)法2:

假设存在直线满足题意.

由(Ⅰ)可得是圆的直径,                           7分

所以.                                          8分

由点中点,可得.                    9分

设点,则由题意可得.                  10分

又因为直线的斜率不为0,所以,                   11分

所以,           13分

这与矛盾,所以不存在满足条件的直线.           14分

考点:椭圆及圆的基础知识、直线与椭圆的位置关系,考查分析问题、解决问题以及化归与转化的能力,考查综合素质。

 

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