Question

4．如图，在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为6cm，侧棱长为3$\sqrt{5}$cm．
（1）求正四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求二面角S-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，过O作OE⊥BC，交BC于E，连结PO、SE，由勾股定理求出OE、SO，再求出S_{正方形ABCD}=6×6=36，由此能求出正四棱锥S-ABCD的体积．
（2）由SO⊥面ABCD，OE⊥BC，得∠SEO是二面角S-BC-A的平面角，由此能求出二面角S-BC-A的大小．

解答 解：（1）连结AC、BD，交于点O，过O作OE⊥BC，交BC于E，连结PO、SE，
∵在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为6cm，侧棱长为3$\sqrt{5}$cm，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OE=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}$=3，
SE=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}$=6，$SO=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
S_{正方形ABCD}=6×6=36，
∴正四棱锥S-ABCD的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SO$=$\frac{1}{3}×36×3\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$（cm²）．
（2）∵SO⊥面ABCD，OE⊥BC，∴SE⊥BC，
∴∠SEO是二面角S-BC-A的平面角，
∵tan∠SEO=$\frac{SO}{OE}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴∠SEO=60°，
∴二面角S-BC-A的平面角为60°．

点评 本题考查正四棱锥的体积和二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理、三垂线定理的合理运用．