Question

【题目】如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，∠CBD=60°，BD=2BC=4，点E在CD上，DE=2EC．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角E﹣BA﹣D的余弦值为 ，求三棱锥A﹣BCD的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连结AO，CO，EO． 因为AB=AD，BO=OD，所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又BE平面BCD，所以AO⊥BE．
在△BCD中，BD=2BC，DE=2EC，所以 ，
由角平分线定理，得∠CBE=∠DBE，
又BC=BO=2，所以BE⊥CO，
又因为AO∩CO=O，AO平面ACO，CO平面ACO，
所以BE⊥平面ACO，
又AC平面ACO，所以AC⊥BE．

（Ⅱ）解：法一：在△BCD中，BD=2BC=4，∠CBD=60°，
由余弦定理得 ，所以BC2+CD2=BD2 ， 即∠BCD=90°，
所以∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE，所以EO⊥BD，
结合（Ⅰ）知，OE，OD，OA两两垂直．以O为原点，
分别以向量 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），
设AO=t（t＞0），
则A（0，0，t），B（0，﹣2，0）， ，
所以 ， ，
设n=（x，y，z）是平面ABE的一个法向量，
则 即 ，整理，得
令y=﹣1，得 ．
因为OE⊥平面ACD，所以m=（1，0，0）是平面ABD的一个法向量．
又因为二面角E﹣BA﹣D的余弦值为 ，
所以 ，解得t=2或t=﹣2（舍去），
又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱锥A﹣BCD的高，
故三棱锥A﹣BCD的体积 ．
（Ⅱ）法二：过点O作OF⊥AB于点F，连结EF．
在△BCD中，BD=2BC=4，∠CBD=60°，由余弦定理可得 ．
因为BC2+CD2=BD2 ， 所以∠BCD=90°，
故∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE，所以EO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EO平面BCD，
所以EO⊥平面ABD，又AB平面ABD，所以EO⊥AB，
又因为EO∩OF=O，所以AB⊥平面EOF，又EF平面EOF，
所以AB⊥EF，所以∠EFO为二面角E﹣BA﹣D的平面角，
所以 ，所以 ，解得 ，
设AO=t（t＞0），则 ，解得t=2或﹣2（不合，舍去），
又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱锥A﹣BCD的高，
所以三棱锥A﹣BCD的体积 ．

【解析】（本小题满分12分）
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．