Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx（0≤x≤1）}\\{lo{g}_{2015}x（x＞1）}\end{array}\right.$若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（　　）

• A． （1，2015）
• B． （1，2016）
• C． （2，2016）
• D． [2，2016]

Answer 1

分析 0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈$[0，\frac{1}{2}]$时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈$[\frac{1}{2}，1]$时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log₂₀₁₅x＞0，且函数f（x）=log₂₀₁₅x单调递增，log₂₀₁₅2015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．

解答 解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈$[0，\frac{1}{2}]$时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；
x∈$[\frac{1}{2}，1]$时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；
x＞1，∴log₂₀₁₅x＞0，且函数f（x）=log₂₀₁₅x单调递增，log₂₀₁₅2015=1．
不妨设0＜a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=1，2015＞c＞1，
∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．