Question

【题目】以下命题中：

①若向量、、是空间的一组基底，则向量、、也是空间的一组基底；

②已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面；

③曲线与曲线（且）有相同的焦点.

④过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；

⑤若过点的直线交椭圆于不同的两点，且是的中点，则直线的方程是.

其中真命题的序号是______.（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

对于①，向量、、共面，即向量、、不是空间的一组基底；即①错误；

对于②，由向量的线性运算可得，即点平面，即②正确；对于③，当时与当时，曲线的焦点坐标为，即③正确；对于④，动点的轨迹方程为，即④错误；对于⑤，由点差法可得直线的方程是，即⑤错误，得解.

解：对于①，向量，即向量、、共面，即向量、、不是空间的一组基底；即①错误；

对于②，由，则,即，即，即点平面，即②正确；

对于③， 曲线的焦点坐标为，当时，曲线可化为的焦点坐标为，当时，曲线的焦点坐标为，即曲线与曲线（且）有相同的焦点，即③正确；

对于④，由，则点为弦的中点，设，则，又在圆周上，则，即，除去，则动点的轨迹为圆且除去，即④错误；

对于⑤，若过点的直线交椭圆于不同的两点，且是的中点，设，则且，两式相减可得，即直线的方程是，则直线的方程是，即⑤错误，

即真命题的序号是②③，

故答案为：②③.