题目内容

设函数.
(1)当为自然对数的底数)时,求的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
(1)2;(2)当时,函数无零点;当时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有两个零点;(3).

试题分析:(1)当时,,易得函数的定义域为,求出导函数,利用判定函数在定义区间内的单调性,并求出的极小值;
(2)由函数,令,得
,由求出函数的单调性以及极值,并且求出函数的零点,画出的大致图像,并从图像中,可以得知,当在不同范围的时候,函数和函数的交点个数
(3)对任意恒成立,等价于恒成立,则上单调递减,即恒成立,
求出的取值范围.
试题解析:(1)当时,
易得函数的定义域为

时,,此时上是减函数;
时,,此时上是增函数;
时,取得极小值
(2)函数
,得


时,,此时上式增函数;
时,,此时上式增函数;
时,取极大值
,即,解得,或
函数的图像如图所示:

由图知:
时,函数和函数无交点;
②当时,函数和函数有且仅有一个交点;
③当时,函数和函数有两个交点;
时,函数和函数有且仅有一个交点;
综上所述,当时,函数无零点;当时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有两个零点.
对任意恒成立
等价于恒成立

上单调递减
恒成立


当且仅当当时,
的取值范围是
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