题目内容
设函数.
(1)当(为自然对数的底数)时,求的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
(1)当(为自然对数的底数)时,求的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
(1)2;(2)当时,函数无零点;当或时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有两个零点;(3).
试题分析:(1)当时,,易得函数的定义域为,求出导函数,利用判定函数在定义区间内的单调性,并求出的极小值;
(2)由函数,令,得,
设,由求出函数的单调性以及极值,并且求出函数在的零点,画出的大致图像,并从图像中,可以得知,当在不同范围的时候,函数和函数的交点个数
(3)对任意恒成立,等价于恒成立,则在上单调递减,即在恒成立,
求出的取值范围.
试题解析:(1)当时,
易得函数的定义域为
当时,,此时在上是减函数;
当时,,此时在上是增函数;
当时,取得极小值
(2)函数
令,得
设
当时,,此时在上式增函数;
当时,,此时在上式增函数;
当时,取极大值
令,即,解得,或
函数的图像如图所示:
由图知:
当时,函数和函数无交点;
②当时,函数和函数有且仅有一个交点;
③当时,函数和函数有两个交点;
④时,函数和函数有且仅有一个交点;
综上所述,当时,函数无零点;当或时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有两个零点.
对任意恒成立
等价于恒成立
设
在上单调递减
在恒成立
当且仅当当时,
的取值范围是
练习册系列答案
相关题目