Question

在等差数列{a_n}中，a₁=9，公差d=2，等比数列{b_n}中，b₁b₂b₃=729，公比q=3．
（1）写出数列{a_n}的通项公式；
（2）写出数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列c_n=a_nb_n+9，是否存在不小于2的自然数m，使得对于任意自然数n，c_n都能被m整除？如果存在，求出最大的m的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d，代入a₁和d，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据b₁b₂b₃=729，利用等比数列的性质，即可求得b₂，又公比q=3，可以求得b₁，利用等比数列的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式；
（3）我们将n=1，2，3，4依次代入，计算相应的f（n）的值，由此不难得到满足条件的m值，然后再根据数学归纳法对结论进行证明．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=9，公差d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=9+（n-1）×2=2n+7；
（2）∵在等比数列{b_n}中，则b₁b₂b₃=b₂³=729，
∴b₂=9，又公比q=3，则b₁=3，
∴b_n=b₁×q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ；
（3）由题意，c_n=a_nb_n+9=（2n+7）•3ⁿ+9，
∴f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设n=k时，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除，
当n=k+1时，c_n=c_k+1=[2（k+1）+7]•3^k+1+9=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
∵3^k-1-1是2的倍数，
∴18（3^k-1-1）能被36整除，
也就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
综合①②，可知对于任意自然数n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，知道等差和等比数列的基本量首项和公差、公比即可求得通项公式，同时考查了数列的综合应用以及数学归纳法的应用．属于中档题．