Question

4．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，点E、F分别是BB₁、DD₁的中点．
（1）求证：平面AEC₁F⊥平面ACC₁A₁；
（2）求多面体AEC₁FA₁B₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接EF，BD，证明EF⊥平面ACC₁A₁，即可证明平面AEC₁F⊥平面ACC₁A₁；
（2）利用分割法求多面体AEC₁FA₁B₁的体积．

解答 （1）证明：连接EF，BD，则
∵点E、F分别是BB₁、DD₁的中点，
∴AE=EC₁=C₁F=FA，
∴四边形AEC₁F为菱形，
∴EF⊥AC₁，
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AA₁，
∵EF⊥AC₁，EF⊥AA₁，AA₁∩AC₁=A，
∴EF⊥平面ACC₁A₁，
∵EF?平面AEC₁F，∴平面AEC₁F⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，
∴${V}_{{C}_{1}-AF{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AF{A}_{1}}×6$=36，
∵点E是BB₁的中点，BB₁=6，
∴B₁E=3，
∴${S}_{AE{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}•（3+6）•6$=27
∴${V}_{{C}_{1}-AE{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（3+6）•6•6$=54，
∴多面体AEC₁FA₁B₁的体积=36+54=90．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查多面体AEC₁FA₁B₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．