Question

（本小题满分12分）
已知函数．
(1)判断其奇偶性;
(2)指出该函数在区间上的单调性并证明;
(3)利用(1)和(2)的结论,指出该函数在上的增减性.（不用证明）

Answer 1

（1）是奇函数；（2）在上是增函数。（3）由于是上的奇函数，在上又是增函数，因而该函数在上也是增函数。

本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中掌握函数奇偶性与单调性的定义及判定方法是解答本题的关键．
（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）任取x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用实数的性质，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义，即可得到答案；
（3）由（1）可得函数为奇函数，由（2）可得函数在（0，1）上为增函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，即可得到答案．
解：（1）函数的定义域为…………. 2分

是奇函数…………. 4分
（2）函数在上是增函数
证明：设，则
…………. 8分
，
因此函数在上是增函数………. 10分
（3）由于是上的奇函数，在上又是增函数，因而该函数在上
也是增函数………. 12分