Question

6．定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}f（x）$，且当0≤x₁≤x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（$\frac{1}{2015}$）等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 依题意，可求得f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，再分别利用f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}f（x）$，即可求得答案．

解答 解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
∴f（1）=1，
由f（$\frac{1}{2}$）+f（1-$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}f（x）$，
令x=1可得f（$\frac{1}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{25}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{5}$）=（$\frac{1}{2}$）²，
f（$\frac{1}{125}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{25}$）=（$\frac{1}{2}$）³，
f（$\frac{1}{625}$）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$
f（$\frac{1}{3125}$）=（$\frac{1}{2}$）⁵=$\frac{1}{32}$，
∵$\frac{1}{3125}$＜$\frac{1}{2015}$＜$\frac{1}{625}$，
又∵0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴f（$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{32}$．
故选：C．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法求值，考查递推关系式的灵活应用，属于中档题