Question

14．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x²，x∈[1，2]与函数y=x²，x∈[-2，-1]即为“同族函数”．请你找出下面哪些函数解析式也能够被用来构造“同族函数”，答：①③⑤（请填写序号）
①y=|x-2|；  ②y=x；  ③y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x²）；  ④y=5^x；   ⑤y=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 由题意能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．逐个选项判断即可．

解答 解：由题意可得“同族函数”需对于同一函数值，有不同的自变量与之对应．
故能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．
∵函数y=|x-2|在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
∴y=|x-2|能够被用来构造“同族函数”，故①正确；
∵函数y=x在（-∞，+∞）上是增函数，
∴y=x不能够被用来构造“同族函数”，故②不正确；
∵函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x²）在（-1，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x²）能够被用来构造“同族函数”，故③正确；
∵函数y=5^x在（-∞，+∞）上是增函数，
∴y=5^x不能够被用来构造“同族函数”，故④不正确；
∵函数y=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{x}^{2}}$在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴y=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{x}^{2}}$能够被用来构造“同族函数”，故⑤正确；
综上所述，能够被用来构造“同族函数”的函数有①③⑤
故答案为：①③⑤

点评 本题考查“同族函数”的定义，转化为基本初等函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．