题目内容
【题目】双曲线的左、右焦点分别为
、
,直线
过
且与双曲线交于
、
两点.
(1)若的倾斜角为
,
,
是等腰直角三角形,求双曲线的标准方程;
(2),
,若
的斜率存在,且
,求
的斜率;
(3)证明:点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值
是该点在已知双曲线上的必要非充分条件.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
(1)将代入双曲线的方程,得出
,由
是等腰直角三角形,可得出
,再将
代入可得出
的值,由此可得出双曲线的标准方程;
(2)先求出双曲线的标准方程,并设直线的方程为
,将该直线的方程与双曲线的方程联立,列出韦达定理,并求出线段
的中点
的坐标,由
得出
,转化为
,利用这两条直线斜率之积为
,求出实数
的值,可得出直线
的斜率;
(3)设点,双曲线的两条渐近线方程为
,利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义,即可得证.
(1)直线的倾斜角为
,
,可得直线
,代入双曲线方程可得
,
是等腰直角三角形可得
,即有
,
解得,
,则双曲线的方程为
;
(2)由,
,可得
,
直线的斜率存在,设为
,设直线方程为
,
,可得
,
由,联立双曲线方程
,
可得,
可得,线段
的中点
为
,
由,可得
,
解得,满足
,故直线
的斜率为
;
(3)证明:设,双曲线的两条渐近线为
,
可得到渐近线的距离的乘积为
,
即为,可得
,
可得在双曲线
或
上,
即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值
是该点在已知双曲线上的必要非充分条件.
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