题目内容
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如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明:
(Ⅰ)AC•BD=AD•AB;
(Ⅱ)AC=AE.
【答案】分析:(Ⅰ)先由AC与⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理得到∠ACB=∠DAB,即可得到△ACB∽△DAB,进而得到结论;
(Ⅱ)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BDA,再结合∠ADE=∠BDA,得到△EAD∽△ABD,最后结合第一问的结论即可得到 AC=AE成立.
解答:
证明:(Ⅰ)由AC与⊙O′相切于A,
得∠CAB=∠ADB,
同理∠ACB=∠DAB,
所以△ACB∽△DAB,
从而
,
即 AC•BD=AD•AB.
(Ⅱ)由AD与⊙O相切于A,
得∠AED=∠BDA,
又∠ADE=∠BDA,
得△EAD∽△ABD,
从而
,即AE•BD=AD•AB.
结合(Ⅰ)的结论,AC=AE.
点评:本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用.属于基础题.
(Ⅱ)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BDA,再结合∠ADE=∠BDA,得到△EAD∽△ABD,最后结合第一问的结论即可得到 AC=AE成立.
解答:
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得∠CAB=∠ADB,
同理∠ACB=∠DAB,
所以△ACB∽△DAB,
从而
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即 AC•BD=AD•AB.
(Ⅱ)由AD与⊙O相切于A,
得∠AED=∠BDA,
又∠ADE=∠BDA,
得△EAD∽△ABD,
从而
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结合(Ⅰ)的结论,AC=AE.
点评:本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用.属于基础题.
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