Question

【题目】已知 ．
（1）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；
（2）设fn（x）的极小值点为Pn（xn ， yn），求yn；
（3）设 ，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，求b﹣a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（Ⅰ）fn（x）=（x+n）ex（n∈N*）．
（2）解：∵fn′（x）=（x+n+1）ex，

∴当x＞﹣（n+1）时，fn′（x）＞0；当x＜﹣（n+1）时，fn′（x）＜0．

∴当x=﹣（n+1）时，fn（x）取得极小值fn[﹣（n+1）]=﹣e﹣（n+1）

，即yn=﹣e﹣（n+1）（n∈N*）．

（3）解：∵gn（x）=﹣[x+（n+1）]2+（n﹣3）2

∴a=+（n﹣3）2，

又b=﹣e﹣（n+1），

∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），

令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．

∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，

∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，

∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．

∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，

∴当0≤x＜x0时，h'（x0）＜0；当x＞x0时，h'（x0）＞0，

即h（x）在[x0，+∞）单调递增，在[0，x0）单调递减，

∴（h（x））min=h（x0），

又∵h（3）=e﹣4，h（4）=1+e﹣5，h（4）＞h（3），

∴当n=3时，a﹣b取得最小值e﹣4

【解析】（1）根据导数写出f1（x），f2（x）归纳出fn（x）；（2）由（1）知fn（x）的表达式，要求极值点，就要借助导函数，令导函数为0，解出xn ， 验证是极值后代入解析式即可求出yn ． （3）类比求fn（x）的极小值的过程求出gn（x）的极大值，进而求出最值即可．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．