题目内容

双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>1,b>0)的焦点距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥
4
5
c
.求双曲线的离心率e的取值范围.
直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=
b(a-1)
a2+b2

同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2=
b(a+1)
a2+b2
s=d1+d2=
2ab
a2+b2
=
2ab
c

s≥
4
5
c,得
2ab
c
4
5
c
,即5a
c2-a2
≥2c2

于是得5
e2-1
≥2e2
,即4e4-25e2+25≤0.解不等式,得
5
4
e2≤5

由于e>1>0,
所以e的取值范围是
5
2
≤e≤
5
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