Question

已知集合M={(x，y)|y≤2x且y≥

1

2

x≥0}，N={（x，y）|（x-a）²+（y-a）²≤（4-a）²}，若N⊆M，则a的取值范围为

[5-

5

，5+

5

]

．

Answer 1

分析：由题意，N：以（a，a）为圆心，|4-a|为半径的圆，M：y≤2x为直线y=2x以下的平面部分，y≥

1

2

x为y=

1

2

x以上的平面部分，x≥0为右平面部分．要使N包含于M，可以转化成两个条件：（1）N的圆心在M中，（2）N的圆心到M的两条直线的距离≥N的半径．从而可解．

解答：解：N：以（a，a）为圆心，|4-a|为半径的圆．
M：y≤2x为直线y=2x以下的平面部分，y≥

1

2

x为y=

1

2

x以上的平面部分，x≥0为右平面部分
要使N包含于M，可以转化成两个条件：
（1）N的圆心在M中，（2）N的圆心到M的两条直线的距离≥N的半径．
对于（1），当a≥0时，圆心（a，a）在M中，只要（a，a）在右平面就可以了．
对于（2），设圆心到y=2x（2x-y=0）的距离为d₁，到y=

1

2

x（x-2y=0）的距离为d₂．
根据直线距离公式，∴

a2

5

≥a2-8a+16
∴5-

5

≤a≤5+

5

故答案为[5-

5

，5+

5

]．

点评：本题以集合为载体，考查圆的方程，考查圆心到直线的距离，考查集合的关系，有一定的综合性．