Question

设全集I=R已知集合M={x|（x+3）²≤0}，N={x|2x²=（

1

2

）^x-6}
（1）求（C_IM）∩N．
（2）记集合A=（C_IM）∩N，已知B={x|a-1≤x≤5-a，a∈R}，若B∪A=A．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据集合M中的完全平方式小于等于0，得到底数x+3等于0，解出x的值从而确定出集合M，把集合N中等式右边的底数变为2，根据指数函数的单调性得到关于x的一元二次方程，求出方程的解即可确定出集合N，
（1）根据全集I为R，由集合M求出M的补集，然后求出M补集与N的交集即可；
（2）由（1）中求出的（C_IM）∩N，得到集合A，根据B∪A=A得到集合B是集合A的子集，从而得到集合B为空集或与集合A相等，当集合B为空集时，得到a-1大于5-a列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；当集合B等于集合A时，得到a-1等于5-a都等于2列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，综上，写出所有满足题意a的范围即可．

解答：解：（1）∵M={x|（x+3）²≤0}={-3}，
N={x|2x2=2^6-x}={x|x²+x-6=0}={-3，2}，
∴C_IM={x|x∈R且x≠-3}，
∴（C_IM）∩N={2}．
（2）A=（C_IM）∩N={2}，
∵A∪B=A，∴B⊆A，
∴B=空集或B={2}．
当B=空集时，a-1＞5-a，解得：a＞3；
当B={2}时，

a-1=2 5-a=2

，解得a=3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．

点评：此题属于以完全平方式恒大于等于0及指数函数的单调性为平台，考查了补集及交集的运算，考查l两集合的包含关系，是一道中档题．