题目内容

已知函数f(x)=x+
3
x

（1）用函数单调定义研究函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明之；
（3）根据函数的单调性和奇偶性作出函数f（x）的图象，写出该函数的单调减区间．
（1）任意取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=(x1+
3
x1
)-(x2+
3
x2
)=(x1-x2)(1-
3
x1x2
)=(x1-x2)
x1x2-3
x1x2
（3分）
因为x1＜x2所以x1-x2＜0
当x1，x2∈(0，
3
]时，0＜x1x2＜3所以x1x2-3＜0
所以f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
所以f（x）在（0，
3
]上是单调减函数．（6分）
同理可证f（x）在（
3
，+∞）上是单调增函数．（8分）
（2）函数f（x）的定义域为x|x≠0，x∈R关于原点对称（9分）
因为f(-x)=-x-
3
x
=-f(x).
所以f（x）是奇函数．（12分）
（3）图象为
（14分）
函数f（x）的单调减区间为(-
3
，0)和(0，
3
)（16分）
练习册系列答案
相关题目
偶函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，不等式f（ax-1）＞f（2+x2）恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．(-2，2
3
)		B．(-2
3
，2)		C．(-2
3
，2
3
)		D．（-2，2）
已知奇函数f（x）的定义域是[-1，0）∪（0，1]，其在y轴右侧的图象如图所示，则不等式f（-x）-f（x）＜1的解集为（　　）
A．{x|-
1
2
＜x＜0}		B．{x|-
1
2
＜x＜0或0＜x≤1}
C．{x|-1≤x＜-
1
2
或0＜x≤1}		D．{x|-1≤x＜0或
1
2
＜x≤1}
函数y=f（x）的图象与函数y=
x-2
x+3
的图象关于y=x对称，则函数f（x）为______．
已知f（x）是定义在实数集上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间．
下列判断正确的是（　　）
A．定义在R上的函数f（x），若f（-1）=f（1），且f（-2）=f（2），则f（x）是偶函数
B．定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数
C．定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是减函数，在区间（0，+∞）上也是减函数，则f（x）在R上是减函数
D．既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个
已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）证明函数f（x）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为
5
2
，求此时a的值．
（Ⅳ）当x∈[-2，-1]时函数f（x）的最大值为
5
2
，求此时a的值．
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则一定有（　　）
A．f(-
3
4
)＞f(a4+a2+1)		B．f(-
3
4
)≥f（a4+a2+1）
C．f(-
3
4
)＜f(a4+a2+1)		D．f(-
3
4
)≤f（a4+a2+1）
已知函数f（x）的周期是3，当x∈[-1，2）时，f（x）=x+1，则当x∈[8，11）时，f（x）=（　　）
A．x+8B．x+7C．x-7D．x-8

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