Question

【题目】已知点，圆：，点是圆上一动点，线段的垂直平分线与交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）曲线与轴交于点，，直线过点且垂直于轴，点在直线上，点在曲线上，若，试判断直线与曲线的交点的个数.

Answer 1

【答案】(1).

(2)与曲线只有一个交点.

【解析】分析: (1)利用待定系数法求点P的轨迹E的方程.(2)先求直线的方程为 ，再联立椭圆，求得△=0得与曲线只有一个交点.

详解：（1）连接，由题知，

所以，即点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

因此，，所以，

所以点的轨迹的方程为.

（2）不妨设，，则直线：，

设，则，所以，

因此直线：.

设，联立直线与椭圆的方程可得，

因此，所以，

所以，

所以直线的方程为，即，

其中，，

联立直线：与椭圆，得，

所以 ，

所以与曲线只有一个交点.