题目内容
15．已知曲线f（x）=x3-（a+b）x2+abx（0＜a＜b）在x=1处的切线方程为y=-x+1．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，3]上的最值．
分析 （Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，得到方程，解方程可得a=1，b=2；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式和导数，求得极值点和极值，再求端点处的函数值，即可得到最值．
解答 解：（Ⅰ）f（x）=x3-（a+b）x2+abx（0＜a＜b）的导数为
f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
由题意可得在x=1处的切线斜率为3-2（a+b）+ab=-1，
又切点为（1，0），则1-a-b+ab=0，
解得a=1，b=2；
（Ⅱ）f（x）=x3-3x2+2x，
f′（x）=3x2-6x+2，
令f′（x）=0解得x=1±$\frac{\sqrt{3}}{3}$∈[0，3]，
由f（0）=0，f（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，f（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，f（3）=6．
即有f（x）的最大值为6，最小值为-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，同时考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{7}{12}$π |