Question

已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一第折线。当n≤y≤n+1(n=0,1,2…)时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1）,设数列由f(x_n)=n(n=1,2…)定义。

（1）求x₁、x₂和x_n的表达式

（2）求f(x)的表达式，并写出其定义域；

（3）证明：y=f(x)的图像与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y≤1时，函数y=f(x)的图象是斜率b0=1的线段，故由，得xl=l。     又由f(x2)=2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，     故由，即x2－x1=得，x2=1+。     设当k－1≤y≤k时，xk=1+++…+，则当k≤y≤k十1时。，即，即，∴对任何自然数n，； (2)略。 (3)假设y=f(x)的图象与y=x的图象有大于1的交点，且xn＜x≤xn+1(n∈N)，则方程组有解。     消去y得x=n+bn(x－xn)，整理得(x－xn)(bn－1)=xn－n。(1)，当b＞1时，bn－1＞0，x－xn＞0，∴(x－xn)(bn－1)＞0。     又∵     。     即(1)左右不等，矛盾。其次，当b＜1时，仿上述证明，也可导致矛盾。故函数y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于l的交点。