题目内容

已知函数y=f(x)=
lnx
x

(1)求函数y=f(x)的图象在x=
1
e
处的切线方程;
(2)求y=f(x)的单调区间.
分析:(1)欲求在x=
1
e
处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=
1
e
处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(2)先求出函数的定义域,求出导函数,令导函数小于0以及导数大于0,求出x的范围,写出区间即为单调区间.
解答:解:(1)∵已知函数y=f(x)=
lnx
x

∴f′(x)=
1-lnx
x2
,k=f′(
1
e
)=2e2,且f(
1
e
)=e,
所以切线方程为y-e=2e2(x-
1
e
),即2e2x-y-e=0…(6分)
(2)易知x>0,由f'(x)>0得0<x<e,所以f(x)递增区间:(0,e)…(10分)
f'(x)<0得x>e,递减区间:(e,+∞) …(12分).
点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
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