Question

给出如下命题：
命题p：已知函数y=f(x)=

1-x

3

，则|f（a）|＜2（其中f（a）表示函数y=f（x）在x=a时的函数值）；
命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅；
求实数a的取值范围，使命题p，q中有且只有一个为真命题．

Answer 1

分析：分别对命题p和命题q进行化简：根据含有绝对值的不等式的解法，化简得到命题p：-5＜a＜7，讨论一元二次方程根的分布，化简得命题q：a＞-4．再根据条件p，q中有且只有一个为真命题，列出不等式组，可得实数a的取值范围．

解答：解：对于p，|f（a）|＜2即|

1-a

3

| ＜2
∴-2＜

1-a

3

＜2⇒-5＜a＜7
即命题p：-5＜a＜7
对于q，方程x²+（a+2）x+1=0在（0，+∞）上没有实数根，
①△=（a+2）²-4＜0时，显然q成立
解之得：-4＜a＜0；
②△≥0时，原方程有两个实数根，没有正数根时q成立
∴

a≤-4或a≥0 x1+x2= -(a+2)＜0 x1•x2=1＞0

⇒a≥0
综上所述，命题q：a＞-4
∵命题p，q中有且只有一个为真命题
∴

-5＜a＜7 a≤-4

或

a≤-5或a≥7 a＞-4

成立
解之得-5＜a≤-4或a≥7

点评：本题以含绝对值的不等式的解法和一元二次方程根分布为例，考查了命题真假的判断，属于中档题．