Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+y²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直线l过点A（4，-1），且被圆C₁截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C₁和圆C₂都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=k（x-4）-1，再利用圆C₁的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点P的坐标为P（a，b），再利用圆心C₁和圆心C₂到l的距离相等，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）由于直线x=4与圆C₁不相交，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=k（x-4）-1，圆C₁的圆心到l的距离为d，所以d=1．
由点到直线l的距离公式得d=

|7k+1|

1+k2

，从而k（24k+7）=0
所以k=0或k=-

7

24

，所以直线l的方程为y=-1或7x+24y-4=0．
（2）假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y-b=k（x-a），因为圆C₁和圆C₂的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C₁和圆C₂的半径相等，到l的距离相等，即

|-3k+b-ak|

1+k2

=

|4k-4+b-ak|

1+k2

，整理得：（14a-7）k2-（8a+14b-32）k+8b-16=0，因为k的个数有无数多个，所以

14a-7=0 8a+14b-32=0 8b-16=0

解得

a= 1 2 b=2

综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为P(

1

2

，2)．
注：用平面几何知识可能更简单．

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、绝对值方程式的解法、到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．